## Properties of a Trapezoid

This tool calculates the basic geometric properties of a trapezoid. Enter below the shape dimensions. It is not required for base α to be the bigger one. The calculated results will have the same units as your input. Please use consistent units for any input.

α = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

b = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

h = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Additional input (select which): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Geometric properties: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Area = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Perimeter = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

x _{c} = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

y _{c} = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Lengths: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Side c = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Side d = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Diagonal p = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Diagonal q = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Angles : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

φ _{1} = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

φ _{2} = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

φ _{3} = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

φ _{4} = |

## Definitions

### Geometry

Trapezoid is a quadrilateral shape with at least two parallel sides. The definitions shown in the following figure are used:

The area of a trapezoid is given by the formula:

\[ A = h\frac{a+b}{2} \]

where a, b the lengths of the two bases and h the height.

The perimeter of a trapezoid is simply the sum of the lengths of all sides:

\[ P = a+b+c+d \]

Finding the lengths of the non parallel sides c and d, can be done if one interior angle of the trapezoid is known. Let's assume that angle φ_{1} is given. Using simple geometrical principles, for the right triangles, with sides c, d as hypotenuses (see figure below), the calculation of lengths c and d can by done:

\[ \begin{split} & c & = \frac{h}{\sin{\varphi_1}} \\ & \alpha_1 & = \sqrt{c^2 - \alpha_1^2} \\ & \alpha_2 & = a - b - \alpha_1\\ & d & = \sqrt{\alpha_2^2 + h^2} \end{split} \]

Interior angle φ_{3} is supplementary with φ_{1} , since bases a and b are parallel. Therefore:

\[ \varphi_3 =180^{\circ} -\varphi_1 \]

The remaining interior angles (which are also supplementary) can be found using simple geometrical principles, for the right triangle, with side d as hypotenuse:

\[ \begin{split} & \tan{\varphi_2} & = \frac{h}{\alpha_2} \Rightarrow \varphi_2 = \tan^{-1}\left(\frac{h}{\alpha_2}\right)\\ & \varphi_4 & = 180^{\circ} - \varphi_2 \end{split} \]

There are many ways to find the lengths of diagonals, once the sides or the interior angles are known. Here, a solution employing the Pythagorean Theorem on the highlighted right triangle (see next figure) is presented, for diagonal p:

\[ p = \sqrt{h^2 + \left(\alpha-\alpha_2\right)^2} \]

Similarly, the other diagonal is found as:

\[ q = \sqrt{h^2 + \left(\alpha-\alpha_1\right)^2} \]

### Centroid

The centroid coordinates in respect to the bottom base left vertex, x_{c} and y_{c} (see figure below) can be calculated using the first moments of area, of the three sub-areas A,B,C.

For x_{c} , considering the first moments of area, relative to the part B middle, it is found:

\[ \begin{split} & A\left(x_{c}-a_1-\frac{b}{2}\right) = \frac{a_1 h}{2}\left(-\frac{b}{2}-\frac{a_1}{3}\right) + \frac{a_2 h}{2}\left(\frac{b}{2}+\frac{a_2}{3}\right) \Rightarrow \\ \\ & x_{c} = a_1 +\frac{b}{2} + \frac{h\left(a_2-a_1\right)\left(\frac{3}{2}b+a_1+a_2 \right)}{6A} \end{split} \]

where A is the area of the trapezoid.

As for the y_{c} , considering the first moments of area relative to the bottom base, it is found:

\[ \begin{split} & A y_{c} = \frac{a_1 h}{2}\frac{h}{3} + b h\frac{h}{2} + \frac{a_2 h}{2}\frac{h}{3} \Rightarrow \\ \\ & y_{c} = \frac{h^2\left(3b + a_1+a_2\right)}{6A} = \frac{h^2\left(2b + a\right)}{6A} \\ \\ \end{split} \]

The above formulas are valid even when α_{1} or α_{2} are negative, which occurs when the angles φ_{1} or φ_{2} , are obtuse.