## Carlson's Elliptic Integrals

This tool evaluates the Carlson's symmetric form of elliptic integrals: R_{F} (x,y,z), R_{C} (x,y), R_{D} (x,y,z) and R_{J} (x,y,z,p). Arguments x, y, z should be generally non-negative, but more restrictions apply. Argument p should be non-zero. Enter the arguments below.

x = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

y = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

z = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

p = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Result: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

R _{F }(x,y,z) = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

R _{C }(x,y) = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

R _{D }(x,y,z) = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

R _{J }(x,y,z,p) = |

## About Carlson's symmetric form of Elliptic Integrals

### Definitions

The Carlson's symmetric form of the elliptic integral of the first kind is defined as:

\[ R_F(x,y,z) = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}} \]

The Carlson's degenerate elliptic integral of the first kind, with y=z, is defined as:

\[ R_C(x,y) = R_F(x,y,y) = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t+y)\sqrt{(t+x)}} \]

The Carlson's symmetric form of the elliptic integral of the second kind is defined as:

\[ R_D(x,y,z) = \frac{3}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t+z)\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}} \]

The Carlson's symmetric form of the elliptic integral of the third kind is defined as:

\[ R_J(x,y,z,p) = \frac{3}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t+p)\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}} \]